Wir müssen über Mathe reden...

In dem Gespräch äußerte der Gesprächspartner¹, dass die einzigen Vorgänge in der Natur, die exponentielles Wachstum aufwiesen, der Zins, der Krebs und die Atombombe seien. Er äußerte in dem Gespräch außerdem, dass er für die KIs zu schnell sei und sie daher regelmäßig überfordere, was zu interessanten Ergebnissen führe. Ich weiß, der Mann ist ein Schnellsprecher, aber das birgt Schattenseiten: Manchmal ist er zu schnell für das eigene Denken. Ich versuche einmal in verringerter Geschwindigkeit, sozusagen zum Mitlesen, darzustellen, was es zum exponentiellen Wachstum in der Natur zu sagen gibt. Dann könnt Ihr Euch selbst eine Meinung bilden.

Allerdings beginne ich gleich mal mit dem Spoiler: Alles Wachstum in der Natur ist exponentiell. Oder eben nicht, und dann gibt es auch keine Ausnahmen.

Natürlich ging es in dem Gespräch wieder einmal um die angeblich exponentielle Ausbreitung des SARS Cov 2-Virus. Aber wir können auch andere, beliebige Wachstumsformen in der Natur betrachten, das käme auf das gleiche Ergebnis heraus. Ich möchte Dich als Leser um etwas Geduld bitten, mit mir durch die grundlegenden Erklärungen zu gehen, um dann meine Schlüsse beurteilen zu können.

Was ist exponentielles Wachstum?

Die kürzest mögliche Erklärung ist, dass eine Größe dann exponentiell wächst, wenn sie nach jeweils gleichbleibenden Zeitabständen um einen gewissen Faktor zugenommen hat.

In der Mathematik fasst man das noch allgemeiner, da wachsen Größen nicht nur über die Zeit, sondern allgemein wächst eine Größe y über den Verlauf einer Größe x (Anmerkung ²). Das kann man dann schön in einem Diagramm auftragen, das zwei Achsen hat. In der Regel trägt man die Größe x von links nach rechts auf, und y trägt man von unten nach oben auf. So ein gedachtes Diagramm wird auch Koordinatensystem genannt. Der Witz an der Geschichte ist nun, dass wir den Verlauf der Größe x in äquidistante Abschnitte (äquidistant =  im immer gleichen Abstand) von einer gewissen Länge unterteilen und dann betrachten, um welchen Betrag die Größe y in diesem Zeitabschnitt gewachsen oder gesunken ist.

Jetzt brauchen wir noch ein paar Sprachregelungen, mit denen wir weiterarbeiten können. Wir nennen den Abstand der Abschnitte auf der X-Achse Δx, gesprochen: Delta x. Außerdem haben solche Wachstumsprozesse einen Startwert, der nicht null ist (null kann kein Wachstum haben). Dafür hat sich die Schreibweise y₀ eingebürgert, gesprochen Ypsilon Null. Haben wir eine bestimmte Größe, die dargestellt werden soll, zum Beispiel die Geschwindigkeit v, so können wir von der Startgeschwindigkeit v₀ sprechen.

Los geht’s!

Bei einem exponentiellen Wachstum haben wir einen Faktor, nennen wir ihn a, um den die Größe y in jedem Abschnitt Δx wächst. Am Anfang des Abschnittes haben wir einen Startwert y₁ und am Ende haben wir einen Endwert y₂, sodass wir sagen können:

y₂ = y₁ * a

Wenn Du jetzt sagst: „Das kenne ich, das ist wie bei den Zinsen“, dann hast Du den Punkt erfasst. Es gibt nur noch eine Kleinigkeit bei dieser Darstellung zu beachten. Diese Darstellung betrachtet nämlich nicht den Verlauf der Größe y über x, sondern ihre Veränderung in beliebigen Zeitabschnitten Δx. Statt Veränderung können wir auch Dynamik sagen: Wir betrachten die Dynamik der Größe y über x. Ohne jetzt tiefer in die Grundlagen einzusteigen, können wir sagen, dass der Verlauf der Größe y über x in einer derartigen Formel darstellbar ist:

y = x^a + c

Und das ist die ominöse Exponentialfunktion.

Bringt mir Beispiele!

Der Streitpunkt, um den es in dem zitierten Gespräch ging, ist die Idee der exponentiellen Ausbreitung bei Epidemien, sagen wir mal: Im Herbst, wenn eine Grippewelle beginnt. Die Idee ist absolut simpel: Eine Person kann im Schnitt R weitere Personen anstecken, wobei R vom Begriff Reproduktionsrate kommt. Die Biologen, die diesen Begriff geprägt haben, stehen vor einem ähnlichen Phänomen, nämlich der Zellteilung³. Jede Zelle teilt sich nach Ablauf einer bestimmten Zeit Δt in zwei Zellen. Die Anzahl der Zellen n wächst also im Zeitabschnitt Δt durchschnittlich um den Faktor 2:

n₂ = n₁ * 2

Die Reproduktionsrate R ist also 2. Und dieser Begriff wanderte jetzt in die Epidemiologie weiter. Das Virus pflanzt sich fort, indem sich weitere Wirte anstecken. Die Dynamik einer Epidemie ergibt sich damit aus der Zahl R, die das durchschnittliche Wachstum darstellt, den Faktor, um den die Anzahl der infizierten Wirte steigt:

n₂ = n₁ * R

Da muss noch eine zweite Größe dazu, das ist Δt, also die Zeit, die das Virus braucht, um von einem Wirt auf weitere Wirte überzugehen. Je kürzer Δt ist, umso schneller breitet sich die Krankheit aus.

Gratuliere! Wenn Du jetzt noch am Lesen bist, kannst Du die Ernte einfahren. Versprochen!

Zwei Kleinigkeiten, bevor wir das ganze Bild abrunden. Im Rahmen der Corona-Epidemie war immer wieder mal von der Verdoppelungszeit die Rede. Der Begriff ist im Kontext einer Epidemie ziemlich schwachsinnig angesiedelt. Der Begriff stammt aus der Zellteilung, wo R ja immer den Wert 2 hat. Bei der Zellteilung interessiert also nur die Zeit Δt, um die Dynamik des Zellwachstums zu beschreiben. Und die zweite Kleinigkeit folgt auf dem Fuß: dass R bei Epidemien verschiedene Werte haben kann und dass der Wert 1 einen Kipppunkt darstellt: Bei Werten unter 1 nimmt die Anzahl der infizierten Personen ab, bei Werten über 1 nimmt sie zu.

Das bisher gezeigte Bild zeigt übrigens nur die halbe Wahrheit. Die zweite Hälfte ist, dass Wachstum Ressourcen braucht. Und diese Ressourcen erschöpfen sich, woraus folgt, dass jedes Wachstum in der Natur seine Grenzen hat. Das werden wir gleich noch näher betrachten, denn das ist der springende Punkt der Diskussion über Corona, die Natur, das Universum und den ganzen Rest…

Gibt es nicht gesündere Beispiele?

Die Natur ist so beschaffen, dass jedes bisschen Boden in kürzester Zeit von Pflanzen bedeckt ist – außer in der Wüste. Warum ist das so? Weil das Pflanzenwachstum exponentiell angelegt ist. Ihr wisst: Pflanzen brauchen Nährstoffe aus dem Boden, Wasser und Licht. Gesetzt den Fall, dass die Umgebung von diesen drei Dingen reichlich zur Verfügung stellt, hängt das Wachstum einer Pflanze von einer einzigen Größe ab, und das ist die Blattfläche. Über die Blätter findet die Photosynthese statt, die ihrerseits wieder die Grundlage für das weitere Wachstum der Pflanze ist.

Das ist so phantastisch, dass ich das wiederholen muss: Das Ergebnis des Wachstums ist Blattfläche. Und die Dynamik des Wachstums hängt von der Blattfläche ab. Nehmen wir einen beliebigen Zeitabschnitt Δt. In diesem Zeitabschnitt wächst die Blattfläche

f₂ = f₁ * c

Hier haben wir einen Faktor c eingesetzt, sodass das Wachstum proportional zur Ausgangsfläche ist. Und Ihr erkennt unschwer: Das ist dasselbe Muster, das wir bereits vorher beschrieben haben. Das ist eine Exponentialfunktion. Was ist jetzt der Faktor c? Nun, der hängt ab von der Beschaffenheit des Bodens, der Wasserversorgung und der Menge an Licht, die Tag für Tag zur Verfügung steht.

Wenn die Nahrung knapp wird

Das Beispiel der Blattfläche öffnet uns die Tür zur zweiten Hälfte der Wahrheit. Und die zeigt sich in dem simplen Spruch, den man bei uns in Bayern sagt: „Der Herrgott lässt die Bäume nicht in den Himmel wachsen!“

Die zweite Hälfte ist, dass die Ressourcen nur für eine bestimmte Menge an Pflanzen ausreichen. Und wenn wir jetzt ein bestimmtes Biotop betrachten, konkurrieren dort jede Menge unterschiedlicher Pflanzen um die Ressourcen Nahrung, Wasser und sogar um das Licht.

Der Faktor c, den wir in der oben genannten Gleichung eingeführt haben, ist nicht der einzige Faktor, der auf das Pflanzenwachstum einwirkt. Je mehr Blattfläche wir haben, umso mehr Blätter konkurrieren um die Ressourcen. Wir etablieren hier mal ein ganz, ganz simples Modell, das der Komplexität der Natur in keinster Weise gewachsen ist, einfach nur, um die Idee des Ressourcenverbrauchs zu fassen. Wir führen einen Faktor d ein, der das Wachstum abhängig von der bereits erreichten Blattfläche dämpft, so dass wir für einen beliebigen Zeitabschnitt Δt schreiben können:

f₂ = f₁ * c - f₁ * d

Dieser zweite Teilausdruck f₁ * d ist am Anfang ganz klein und kann vernachlässigt werden. Damit haben wir eine Exponentialfunktion. Aber je länger das System wächst, umso größer wird dieser Teilausdruck und umso geringer wird das Wachstum.

Und das ist der Punkt, warum so viele Menschen nicht glauben wollen, dass alles Wachstum in der Natur exponentiell ist. Natürlich: Das Resultat der neuen Formel ist eine Funktion, die nur für kleine Werte x einer Exponentialfunktion entspricht. Ansonsten ergibt sich eine Kurve, die entweder „in die Sättigung geht“, also nach rechts auf einen konstanten Wert zuläuft, oder gar, wie bei einer Epidemie, eine Wellenform annimmt, die am rechten Ende wieder abflaut.

Ist das noch exponentiell?

Jetzt kann man sich trefflich darüber streiten, ob das Wachstum dann noch exponentiell genannt werden darf. Das könnt Ihr halten, wie einen Regenschirm: Aufmachen oder zulassen. Für mich hat die Idee des exponentiellen Wachstums etwas mit der Fülle der Natur zu tun. Die Natur hat von allem im Überfluss. Die Menschen könnten sich daran ein Beispiel nehmen, statt dass Ressourcen künstlich verknappt werden, um Menschen beherrschbar zu machen.

Aber ich habe auch kein Problem damit, wenn jemand sagt: „Für mich zählt, was unten rauskommt. Und das ist alles andere, als eine Exponentialfunktion.“

Schön. Das ist für mich völlig in Ordnung, womit wir wieder zurück bei unserem Schnelldenker sind. Wenn der nämlich den Regenschirm zulässt, dann muss er das auch für die Atombombe tun. Die Atombombe hat genau eine Ressource, das ist die Menge spaltbaren Materials, das für die Kettenreaktion zur Verfügung steht. Diese typische Form des Pilzes entsteht dadurch, dass diese Ressource schlagartig erschöpft wird. Den Rest macht dann der Wind, der die Segnungen der Rüstungsforschung als radioaktiven Fallout über den Planeten verteilt, sodass alle Menschen was davon haben. Wir sollten etwas tun, damit sich so etwas nicht wiederholt.

Aber ich schweife ab. Was ist mit dem Krebs? Die Ressource für den Krebs ist das noch gesunde Gewebe, das durch die Wucherungen verdrängt wird. Irgendwann wird diese Ressource zu knapp und der Patient stirbt. Das ist die Grenze des Wachstums für den Krebs.

Das Problem mit dem Zins

Was haben wir noch? Bleibt der Zins. Der Zins wird normalerweise aufs Jahr gerechnet, wir haben also bei einem Δt von einem Jahr und einem Zinssatz von z folgendes Wachstum:

k₂ = k₁ * (1 + z)

Ein Zinssatz von 5% entspricht also einem Faktor von 1,05. Daher kommt der Ausdruck (1 + z).

Manche Menschen haben Kapital und das Kapital soll sich vermehren. Das Kapital wird zu diesem Zweck investiert. Ich vereinfache das Beispiel mal, indem ich nur die Realwirtschaft betrachte. Die Investitionen führen daher erst mal zu einem Wachstum der Wirtschaft. Wenn sie sich im Schnitt rentieren sollen, dann muss die Wirtschaft auch genügend Gewinn abwerfen, damit sich das eingesetzte Kapital vermehrt. Ihr seht: Es gibt einen inneren Zusammenhang zwischen dem Wirtschaftswachstum und der durchschnittlichen Rendite des eingesetzten Kapitals.

Wenn wir davon ausgehen, dass die Realwirtschaft Rohstoffe mit Hilfe von Maschinen und menschlicher Arbeit zu Produkten verarbeitet, dann ergibt sich als Folgerung:

1. Die Maschinen können wiederum als Produkte der Wirtschaft verstanden werden, sodass sich die Formel verkürzt: Menschliche Arbeit und Rohstoffe ergeben Verbrauchsprodukte.

2. Die Rohstoffe landen entweder im Produkt, oder werden als Abfall, Abgase, Abwässer etc. in die Umwelt entlassen⁴.

3. Wenn die Produkte verbraucht sind, sind sie ebenfalls Abfall, der in der Umwelt seinen Platz einnimmt⁴.

4. Wenn das alles exponentiell wachen soll, haben wir ein Problem.

Ich hoffe, Ihr konntet mir folgen. Und jetzt kommt dazu noch die Finanzwirtschaft, deren Umfang ein Mehrfaches der Realwirtschaft beträgt. Damit die Erträge der Finanzwirtschaft realisiert werden können, entsteht ein zusätzlicher Druck auf die Realwirtschaft, wenigstens einen Teil des Kapitals als tatsächliche Werte zu realisieren. Ohne das Vertrauen in weiteres Wachstum würde die Finanzwirtschaft kollabieren.

Ich hoffe, Ihr nehmt aus diesem Abschnitt mit, dass auch der Zins nicht endlos wirken kann, sondern dass auch er von begrenzten Ressourcen abhängt.

Zurück zum Regenschirm

Also: Wenn der Gesprächspartner in dem Video den Regenschirm schließt, muss er sagen, dass es in der Natur überhaupt kein exponentielles Wachstum gibt, weil es immer Ressourcen gibt, die durch Wachstum erschöpft werden.

Lässt er den Regenschirm offen, muss er zugestehen, dass eine Epidemie immer mit einem exponentiellen Wachstum beginnt.

Ich würde diesen Beitrag gerne fortsetzen. Denn es kann auf ähnlich einfache Weise gezeigt werden, dass das Modell, auf Basis dessen am Anfang der Corona-Epidemie eine Katastrophe heraufbeschworen wurde, einer simplen Überprüfung nicht standhält. Die Frage ist jetzt: Geschah das bewusst, oder hat man es nicht besser gewusst? Es ist denkbar, dass gewisse Kreise Covid nutzen wollten, um die Katastrophen-Kommunikation für den Fall einer tatsächlichen Pandemie zu üben. Das ist zumindest der Tenor des Buches Corona: Chronik einer angekündigten Krise von Paul Schreyer, das ich gegenwärtig lese. Aber auch davon erzähle ich später mehr. Ich kann das Buch nur wämstens empfehlen.

¹ Es handelt sich um dieses Gespräch. Der Gesprächspartner ist Kayvan Soufi-Siavash, bekannt als Ken Jebsen durch seine ehemalige Medienplattform ken.fm.

² Daher kommt vermutlich Elon Musks Fetisch mit dem Buchstaben X. X ist in der Mathematik die Größe, von der alles ausgeht. Ich erwähne das nur, um eine Vorstellung der beschränkten Gedankenwelt von Herrn Musk zu vermitteln.

³ Dass das keine Mathematiker waren, sieht man schon daran, dass sie R groß schreiben… 😉

⁴ Es gibt eine gewisse Recyclingrate, bei der Abfälle dem Produktionsprozess wieder zugeführt werden. Sie wird zum Beispiel bei Plastik auf ca. 14% geschätzt, wobei nicht übersehen werden darf, dass Recycling Energie verbraucht. Nach meinem Empfinden kommen mir die 14% weltweit als zu hoch vor. Aber was weiß ich schon über die Motivation, mit der unser Wirtschaftssystem betrieben wird?